Este es el Mono Burgos Señor Mou

Debutó en la liga argentina el 3 de septiembre de 1989 con Ferro Carril Oeste frente a Newell's Old Boys.

En 1994 fichó por River Plate, equipo con el que se consagró como arquero a nivel internacional y donde la afición le apodó 'Mono', debido a su envergadura (1,88) y su aspecto desgarbado. Esta considerado como unos de los 5 mejores arquero que atajó en la historia de River Plate. [cita requerida]

Con River ganó los títulos Apertura 1994 (terminando este torneo sin haber perdido un solo partido), la Copa Libertadores de América 1996 (donde tuvo una destacada actuación en la primera final atajando un penal clave), el Campeonato Apertura 1996, el Campeonato Clausura 1997, el Campeonato Apertura 1997 y la Supercopa Sudamericana 1997.

En la temporada 1999/00 emigró a España, donde fichó por el Real Mallorca en el que jugó dos temporadas. En esta etapa de su carrera futbolística, Burgos comenzó a pensar en dejar el fútbol puesto que sus inclinaciones musicales eran más fuertes. En 2001 fichó por el Atlético de Madrid, equipo con el que logró ascender a Primera División en su primera temporada y donde colgó los guantes en la campaña 2003/04.

A principios del año 2003 se le diagnosticó un cáncer de riñón que le tuvo apartado del fútbol durante unos meses. En una entrevista comentaba su reacción al conocer la noticia con su humor habitual: ?Fue algo inesperado. Vienen un día y te dicen: te tienes que operar que es cáncer. Yo tenía que jugar ese fin de semana contra el Mallorca y le dije al doctor: mejor me opero el lunes. Pero los médicos y Luis me dijeron que me tenía que operar ya y decidimos hacerlo lo más rápido posible y fue acertado?.1

Tras su retirada, trabajó en Madrid como comentarista en Radio Nacional de España en el programa deportivo Tablero Deportivo y en TeleMadrid.

Durante 2010 fue entrenador deportivo de los concursantes del reality show Football Cracks.

Desde el verano de 2011 y hasta diciembre del mismo año, formo parte del equipo técnico de Racing Club de Avellaneda como ayudante de campo de Diego Simeone. La dimisión del 'Cholo' a cargo del Racing Club de Avellaneda el 19 de diciembre de 2011 provoco que el 23 de diciembre de 2011 se confirmase que 'El Mono' y Simeone serían los entrenadores del Atlético de Madrid por lo que restaba de temporada y la siguiente. Burgos seguiría como segundo entrenador.

Desde diciembre de 2011 es el segundo entrenador de Diego Simeone en el Atletico de Madrid.